Игра в имитацию - Эндрю Ходжес (2015)

Главный интерес Витгенштейна заключался в установлении отношений между математикой и «общеупотребительными словами». К примеру, какое отношение «доказательство» в области чистой математики имеет к слову «доказательство», употребленному в предложении «Доказательство вины Люиса состоит в том, что он был пойман на месте преступления с пистолетом в руке». Как не переставал отмечать Витгенштейн, связь оставалась неясной. Работа Principia Mathematica не решила эту проблему: все еще требовалось, чтобы люди пришли к согласию в том, что имеется в виду под словом «доказательство». Метод Витгенштейна решить эту проблему заключался в том, чтобы задать вопросы, в которых такие слова, как «доказательство», «бесконечный», «число», «правило» составляют предложения о реальной жизни, и показать, что они могут не иметь смысла. Поскольку Алан был единственным значимым математиком среди учеников, к нему относились на занятиях так, будто он нес непосредственную ответственность за все, что когда-либо говорили или делали математики, а он в свою очередь довольно смело приложил все свои усилия, чтобы защитить абстрактные построения чистой математики от критики Витгенштейна.

В частности, у них состоялась длительная дискуссия относительно целой структуры математической логики. В ходе дискуссии Витгенштейн утверждал, что процесс создания логической системы, не допускающей двойного толкования, не имел никакого отношения к тому, что обычно подразумевается под словом «истинный». Он сосредоточил все свое внимание на особенности любой логической системы, которая заключалась в том, что одно единственное противоречие, или одно внутреннее противоречие сделает возможным доказательство любого логического суждения:

ВИТГЕНШТЕЙН: (…) Представим случай с тем, кто говорит неправду. Такая ситуация необычна тем, что может любого привести в замешательство, куда более странная, чем вы можете себе это представить. (…) Поскольку это происходит таким образом: если человек говорит «я лгу», мы говорим, что из этого следует утверждение, что он не лжет, из чего в свою очередь следует, что он лжет, и так далее. И что с того? Вы можете продолжать этот ряд, пока не осипнете. Почему бы и нет? Это не имеет значения. (…) Это лишь бесполезная языковая игра, и почему она должна кого-то так волновать?

ТЬЮРИНГ: Человека приводит в замешательство то, что он обычно использует противоречие в качестве критерия, что он допустил ошибку. Но в таком случае он не может обнаружить, в чем именно заключается его ошибка.

ВИТГЕНШТЕЙН: Да, и более того — ошибки и не существует. (…) так в чем будет состоять вред?

ТЬЮРИНГ: Никакого серьезного вреда не будет, если только ему не найдется какое-нибудь применение, по причине которого может произойти обвал моста или нечто в этом роде.

ВИТГЕНШТЕЙН: … Вопрос состоит в следующем: почему люди избегают противоречий? Легко понять, почему они должны избегать противоречий в распоряжениях, инструкциях и так далее, в областях вне математики. Возникает вопрос: почему они должны избегать противоречий в математике? Тьюринг говорит: «Потому что оно может привести к ошибке в применении». Но ошибки всегда происходят. И если она случается — и мост обваливается — тогда твоя ошибка относится к выбору не того естественного права.

ТЬЮРИНГ: Но вы не можете быть уверены относительно использования своего исчисления, пока вы не убедитесь, что в нем нет скрытого противоречия.

ВИТГЕНШТЕЙН: Как мне кажется, в этом есть огромное заблуждение. (…) Предположим, что я убедил Реса применить парадокс лжеца, и он говорит следующее: «Я лгу, значит я не лгу, значит я лгу, и при этом я не лгу, значит возникает противоречие, значит 2 × 2 = 369». В таком случае нам просто не следует называть это «умножением», вот и все. (…)

ТЬЮРИНГ: Хотя мы и не можем знать, обвалится ли мост при условии отсутствия противоречий, мы можем быть почти уверены, если существуют противоречия, что-то обязательно пойдет не так.