Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин (2015)

Эта книжка полна чисел, алгебры и математического анализа, геометрии и тригонометрии. Но есть в ней и много такого, что не столь хорошо знакомо неискушенному читателю и при этом не объяснено в мельчайших подробностях: треугольник Паскаля, математическая бесконечность, магические свойства некоторых чисел (9, π, e, i), последовательность Фибоначчи, золотое сечение… И хотя нескольких десятков страниц будет явно недостаточно, чтобы подробно рассказать о каждом из этих понятий, я все же надеюсь, что мне удастся объяснить вам их суть и показать, насколько удивительными и значительными они могут быть. И даже если вы с ними уже когда-то сталкивались, здесь вы увидите их под немного другим углом. Это расширит и обогатит ваши знания и представления, ведь чем глубже мы постигаем математику, тем более изощренной и восхитительной предстает перед нами ее магия. Вот, например, одна из самых любимых моих формул:

eiπ + 1 = 0

Ее еще называют «уравнением Бога», ведь здесь используются самые важные для математической науки числа: 0 и 1 – основы всех основ, число π = 3,14159… – самое важное в геометрии, е = 2,71828… – константа математического анализа, и мнимая единица i, квадрат которой равен –1. Про π мы поговорим в главе 8, про i и е – в главе 10. А в главе 11 разберемся со всем тем, что поможет нам понять магическую природу этой формулы.

Эта книга написана для тех, кто когда-нибудь захочет пройти курс математики, и для тех, кто сейчас проходит курс математики, или для тех, кто только что прошел курс математики. Иными словами – абсолютно для всех, вне зависимости от того, обожаете вы математику или боитесь ее как огня. Чтобы сделать наше общение проще, я сформулировал несколько «правил» (в математическом понимании этого слова).

Правило № 1:

Текст в серых блоках можно не читать (но только не этот)!

В каждой главе есть «отступления», в которых я рассказываю о чем-то интересном, что упомянуто в основном тексте, но в логику рассуждений не вписывается: это может быть лишний пример, подробное доказательство или информация, рассчитанная на более искушенного читателя. При первом чтении (равно как и при втором или третьем) вам, возможно, захочется эти «отступления» проигнорировать. Но я очень надеюсь, что вам все же захочется перечитать эту книжку: математика – такая вещь, к которой хочется возвращаться снова и снова.

Правило № 2. Не бойтесь пропускать отдельные абзацы, разделы или даже главы. Если чувствуете, что застряли и никак не можете осилить ту или иную часть, смело поступайте с ней так же, как и с отступлениями – вернитесь к ним позже, со свежими силами и свежим взглядом. В конце концов, быть может, следующая глава прольет свет на то, что сейчас кажется непроходимой чащей? Обидно остановиться на полпути и пропустить все самое интересное, правда?

Правило № 3. Обязательно прочитайте последнюю, главу 12. В ней рассказано столько всего о математической бесконечности, что голова у вас пойдет кругом, ведь в школе вас этому наверняка не учили. К тому же, очень мало из того, что написано в главе 12, связано с предыдущими главами. С другой стороны, «очень мало» – не значит «все», а значит, у вас будет отличный стимул перечитать то, что осталось не до конца понятым.

Правило № π. Готовьтесь к неожиданностям. Хотя математика – вещь очень серьезная и важная, изучать ее по учебникам, написанным строгим и сухим языком, никакой необходимости нет. На лекциях, которые я читаю в Колледже Харви Мадда[1], мне редко удается обойтись без случайного каламбура, шутки, стихотворения, песенки или фокуса с числами – они отлично разбавляют атмосферу мрачной научной серьезности. Так почему бы не заняться тем же и на страницах этой книги? В одном вам однозначно повезло: не нужно будет слушать, как я пою. Чем не плюс?

Вот и все правила. Хватайте их подмышку и вперед – в удивительный мир математической магии!

Глава номер один

Магия чисел