В теории квантовых вычислений задача Бернштейна – Вазирани о «рекурсивной выборке Фурье», которой в лекциях 2006 г. я посвятил довольно много времени, была вытеснена моей задачей о «проверке коэффициентов Фурье» (см. главу 10). Задача Бернштейна – Вазирани осталась в истории как первая когда-либо предложенная задача с черным ящиком, которую квантовый компьютер доказуемо может решить сверхполиномиально быстрее, чем классический вероятностный компьютер, и, следовательно, как важный предшественник прорывных открытий Саймона и Шора. Но сегодня, если нам потребуется кандидат на роль задачи класса BQP/PH, иными словами, задачи, которую квантовый компьютер может решить с легкостью, но которая вообще не входит в классическую «полиномиальную иерархию», то представляется, что «проверка коэффициентов Фурье» во всех отношениях превосходит «рекурсивную выборку Фурье».

Несколько задач, которые излагались в моих лекциях 2006 г. как нерешенные, успели с тех пор изменить свой статус. Так, мы с Эндрю Друкером показали, что класс BQP/qpoly входит в класс QMA/poly (к тому же доказательство получилось релятивизирующее), опровергнув тем самым мою гипотезу о том, что эти классы должны различаться по оракулам (см. главу 14). Кроме того, произошел справедливо отмеченный прорыв в теории квантовых вычислений: Джайн с соавторами доказал, что QIP = PSPACE (см. главу 17); это означает, что квантовые интерактивные системы доказательства не мощнее классических. В этом случае я по крайней мере угадал правильный ответ!

(На самом деле был еще один прорыв в исследовании квантовых интерактивных систем доказательства, о котором я не буду рассказывать в этой книге. Недавно мой постдок Томас Видик вместе с Цуёси Ито[8] показал, что NEXP ⊆ MIP*; это означает, что любую интерактивную систему доказательства с многими доказателями можно «привить» против того, чтобы эти доказатели втайне скоординировали свои отклики посредством квантовой запутанности.)

В главе 20 этой книги обсуждается предложенная Дэвидом Дойчем модель квантовой механики в присутствии замкнутых времениподобных траекторий, а также мой и Джона Ватруса новый (на тот момент) вывод о том, что модель Дойча обеспечивает в точности вычислительную мощность PSPACE. (Отсюда, в частности, следует, что путешествующие во времени квантовые компьютеры оказались бы не более мощными, чем классические компьютеры того же назначения, если вас почему-то интересовал этот вопрос.) Однако после 2006 г. вышли новые важные статьи, в которых подвергаются сомнению предположения, положенные в основу модели Дойча, и предложены альтернативные модели, что, как правило, ведет к вычислительной мощности меньшей, чем PSPACE. К примеру, одна из моделей, предложенная Ллойдом с соавторами, «всего лишь» позволит путешественнику во времени решить все задачи класса PP! Об этих достижениях речь пойдет в главе 20.